SÚPER CIENCIA GAMER: La Superfórmula de No Man's Sky

Hace algunos días salió a la luz la notica de que la compañía de matemáticas aplicadas Genicap, podría cobrar una licencia a Hello Games, los creadores del juego procedural No Man's Sky, por el uso de la llamada Superfórmula, una ecuación capaz de generar un infinito número de diseños complejos conocidos como "superfiguras", bellos patrones y cuerpos encontrados en la naturaleza. El asunto promete volverse un dolor de cabeza para los miembros del talentoso estudio, pero también nos ofrece la posibilidad de acercarnos una vez más al increíble mundo de la súper ciencia gamer.

Primero, algo de contexto. El año pasado, en una entrevista con The New Yorker, el creador de No Man's Sky, Sean Murray, habló sobre la generación procedural de mundos en dicho título, es decir, sobre la manera en que el juego despliega un número gigantesco de mundos diferentes, con criaturas y ecosistemas únicos. Como ya se ha señalado, la cantidad de planetas que podremos explorar en el juego es impresionante: 18,446,744,073,709,551,616, osea dieciocho quintillones de mundos. Sin embargo, en dicha entrevista, Murray admitió que, en su búsqueda por una complejidad infinita pero realista, intentó con todo tipo de ecuaciones para la generación de su universo que lo dejaron insatisfecho.

"Las ecuaciones que nuestro equipo creaba eran o demasiado locas y aleatorias, o demasiado repetitivas y aburridas. Así que buscamos la ayuda de la biología. En 2003, un biogenético de Bélgica llamado John Gielis descubrió una ecucación que puede describir un número increíblemente largo de figuras naturales, incluyendo los contornos de diatomeas, peces de mar, telarañas, conchas, copos de nieve, cristales y más. Gielis lo llamó Superfórmula. Cuando Murray y el resto de su equipo utilizaron la ecuación en el juego, funcionó. Cosas que no tenían una diversidad natural de pronto se veían variadas pero verosímiles. Es justo lo que necesitábamos, o al menos la mayor parte de ello".

¿Qué es la Superfórmula? Durante siglos, los científicos han buscado describir las formas de la naturaleza en términos matemáticos. La descripción morfológica de los seres vivos en términos matemáticos es uno de los problemas más grandes de la biología: encontrar la ecuación que describa la forma de una hoja, cómo se generan las ramas de los árboles o las celdas de un panal de abejas. Sin embargo, el problema es que los científicos han creado decenas de ecuaciones, multiplicando excesivamente el número de modelos. La Superfórmula es la solución a este problema. Se trata de una sola ecuación unitaria que es capacidad de generar una gran cantidad de figuras naturales. Es capaz de producir todo tipo de figuras, desde triángulos y pentágonos hasta estrellas, tréboles, espirales y pétalos: se trata de un modelo simple que subordina una gran cantidad de casos, lo que le da la propiedad matemática de elegancia, una de las más buscadas en el mundo científico: "es una manera nueva de describir la naturaleza". Como explica su creador, Johan Gielis: "Cuando encontré la fórmula, y todas estas bellas figuras salieron de mi computadora, parecía demasiado bueno para ser verdad. Pasé dos años pensando: ¿Qué hice mal? ¿Cómo no lo descubrí?".

¿Cómo describir la Superfórmula? En términos básicos, se trata de una versión modificada de la ecuación del círculo, aunque su verdadera inspiración está en la llamada súper elipse creada por el matemático, poeta y diseñador danés, Piet Hein. La súper elipse es una curva cerrada que recuerda a la elipse, pues posee un eje semi-mayor y un eje semi-menor, además de simetría, pero tiene una forma distinta dependiendo de sus parámetros. De manera específica, la súper elipse es el conjunto de todos los puntos que pueden satisfacer la ecuación que ves a la derecha, en la que n, a y b son números positivos, y las barras verticales indican el valor absoluto de los números contenidos en ellas. La súper elipse permite obtener toda una variedad de figuras si el número n es definido de manera distinta en cada caso. Veamos algunas figuras obtenidas si la curva cerrada es contenida en el rectángulo −a ≤ x ≤ +a y −b ≤ y ≤ +b, donde a y b son los semidiámetros de las curvas.

Cuando 0 < n < 1, la súper elipse se ve como una estrella. Cuando n=1 tenemos un rombo con esquinas (±a, 0) y (0, ±b). Cuando n > 2 tenemos un rectángulo con esquinas redondeadas. Como ves, la súper elipse es una generalización capaz de contener muchas formas distintas en el marco de la ecuación general de la elipse. La elegancia de la fórmula consiste en poder definir una gran cantidad de formas tan sólo cambiando algunos de sus parámetros. Ahora bien, la súper elipse se origina, en primer lugar, en el trabajo del matemático francés Gabriel Lamé (1795-1870), que generalizó la ecuación de la elipse, al investigar una teoría general sobre las coordenadas curvilíneas. Sin embargo, la súper elipse, generalización de la fórmula de la elipse, fue descubierta por el poeta y matemático Piet Hein. Dicho matemático propuso la ecuación con ocasión de un concurso de urbanismo, en el que se animaba a diseñar una glorieta en Estocolmo. El ganador fue Hein, quien basó su diseño en una súper elipse con los parámetros n = 2.5 y a/b = 6/5. Hein, que también era escritor, explicaría su novedoso concepto de esta forma:

"El hombre es un animal que dibuja líneas con las que tropieza. En el patrón entero de la civilización, hay dos tendencias, una hacia la línea recta y otra hacia el círculo. Hay razones, mecánicas y psicológicas, para ambas tendencias. Las cosas hechas con líneas rectas encajan y ahorran espacio. Por otro lado, es más fácil moverse alrededor de las cosas con líneas curvas. Pero estamos en una camisa de fuerza, aceptando una u otra, cuando una forma intermedia sería mejor. Dibujar cosas a mano alzada no funcionará. No está fijo ni deinido, como un círuclo o cuadrado. No sabes qué es, no es estéticamente satisfactorio. La súper elipse resuelve el problema. No es redonda ni rectangular, sino algo en medio. Pero está fija y definida: tiene unidad".

Una lección entera de elegancia matemática y de diseño en un sólo párrafo. Posteriormente, Hein se dedicaría a crear juguetes como el súper-huevo, e incluso juegos y puzzles. La súper elipse tendría una interesantísima historia: sería sugerida como forma de la mesa de negociaciones de la Guerra de Vietnam, mientras que, en México, sería utilizada como la forma del Estadio Azteca (1968).

Wow. Pero la súper elipse tendría una vida más allá. Como hemos mencionado, el biólogo Johan Gielis estaba buscando la solución al problema mencionado: una ecuación que pudiera describir una variedad de curvas y cuerpos presentes en la naturaleza. La solución es tomar la súper elipse y generalizarla en coordenadas polares, es decir, sistemas de coordenadas en los que cada punto de un plano se determina por distancia y ángulo, lo que equivale a generalizar la súper elipse en una geometría más radial, cercana a la de la naturaleza. La fórmula es la que vez a tu derecha, y en ella r es el radio y ϕ es el ángulo. La fórmula puede ser ampliada a dimensiones superiores, multiplicando superfórmulas entre sí, lo que permite obtener cuerpos tridimensionales. Ahora bien, la ventaja es que la Superfórmula puede generar una práctica infinitud de figuras regulares e irregulares, muy cercanas a patrones naturales.

A diferencia de la súper elipse, la súper fórmula fue patentada por Gielis, quien trabaja para la corporación Genicap, la cual busca desarrollar tecnologías comerciales basadas en la Superfórmula, aplicándola a campos como las gráficas de computadora, señales, datamining, y en este caso, hasta la generación procedural de videojuegos. Claro que, si uno lo piensa, es un poco injusto que Gielis haya patentado su fórmula para obtener ganancias, siendo que sólo es una matemática derivativa del trabajo de Hein y en última instancia del genio original, Lamé. Pero, en todo caso, estos ejemplos sirven para demostrar la súper ciencia detrás de tus juegos favoritos. ¿Logrará salir a tiempo No Man's Sky? ¿Caerá en un limbo legal? Por ahora, sólo queda esperar.